2.6 Invarianti Relativistici

Invarianti

Per esprimere leggi della fisica che valgano in qualsiasi sistema di riferimento, la cosa più conveniente è quella di esprimerle in termini di quantità che non dipendano dal sistema di riferimento. Queste quantità vengono dette "invarianti".

Abbiamo costruito le trasformazioni di Lorentz in modo tale che la velocità della luce fosse un invariante. Questo significa che se un "evento" (cioè un punto dello spazio-tempo) si trova sulla bisettrice di un quadrante, verrà trasformato in un punto analogo (eventi di questo tipo vengono detti di tipo luce). Cerchiamo di capire come generalizzare la cosa ad eventi qualsiasi.

A questo scopo, prendiamo un punto D a piacere e osserviamo la sua trasformata D' al variare di $\beta$.

Con il pulsante destro del mouse, attiva la traccia di D' e muovi $\beta$.
Riconosci questa funzione senza sbirciare la risposta?.

Intervallo

Abbiamo visto che ogni evento è associato ad una unica iperbole che non dipende da $\beta$, cioè è invariante.


Questa è la generalizzazione che cercavamo. In dimensione 4, questa condizione diventa

(1)
\begin{align} c^2 t^2 -x^2 -y^2 -z^2 = \text{cost.} \end{align}

dove cost vuol dire che non dipende da $\beta$. Dipende invece da D, e viene chiamata intervallo |D-O|.

Quadrivettori

Una nozione molto comoda, è quella di quadrivettore. Questo è definito come la differenza tra due eventi, cioè come un vettore nello spazio-tempo (il nome è motivato in uno spazio tridimensionale, ma noi continueremo ad usarlo anche considerando uno spazio unidimensionale).

Un quadrivettore ha tre coordinate spaziali e una temporale, ed è associato ad una "norma quasi euclidea" che altri non è che l'intervallo tra i due eventi.


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