2.5 Velocità trasversa

Velocità trasversa

Finora abbiamo visto il caso unidimensionale, e ci siamo occupati della parte più difficile: di come si trasformano la x (la coordinata nella direzione del movimento) e il tempo.

Ma le componenti "trasversali" al moto come si trasformano? La risposta sarà che non si trasformano affatto, ma per procedere in maniera rigorosa, dobbiamo ancora una volta imporre l'invarianza del modulo della velocità della luce:

Siamo passati a considerare uno spazio-tempo quadridimensionale: una dimensione corrisponde al tempo e le altre tre allo spazio.
Osserviamo il moto di una "particella di luce".
Se $u_x^2+u_y^2+u_z^2=c^2$, allora deve essere anche${u'}_x^2+{u'}_y^2+{u'}_z^2=c^2$.

La traduzione geometrica di questa formula è semplice: un fotone che parte dall'origine si muove lungo la superficie di un cono. La sezione della superficie conica sul piano $(x,t)$ forma le bisettrici dei quadranti che abbiamo visto in precedenza.

Chiamiamo $u_\perp$ e $u'_\perp$le velocità trasverse nei due riferimenti e usiamo la formula di trasformazione di $u_x$ che già conosciamo. Otteniamo:

(1)
\begin{align} \mid u_\perp'\mid =\sqrt{c^2-{u_x'}^2}= \sqrt{c^2-\left(\frac{u_x-v}{1-\frac{v u_x}{c^2}}\right)^2}= \frac{\sqrt{ c^2 -2 vu_x +\frac{v^2u_x^2}{c^2} -u_x^2+2 vu_x -v^2}}{1-\frac{v u_x}{c^2}}. \end{align}

Ricordando che $c^2-u_x^2= u_\perp^2$, arriviamo a

(2)
\begin{align} \mid u_\perp'\mid =\frac{| u_\perp| \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v u_x}{c^2}}. \end{align}

Siccome la velocità trasversa puo' essere una combinazione arbitraria di vy e vz, questa legge di trasformazione deve valere su ognuna delle due componenti e, facendo un po' di attenzione ai segni, otteniamo
Nota che la velocità trasversa dipende non solo da vy, ma anche da vx !

Trasformazioni di Lorentz delle componenti trasverse

La cosa interessante è che

(controlla!). Questo vuol dire che la trasformazione della y che stiamo cercando, non cambia dy! L'unico modo sensato di fare questa cosa è di avere
y'=y e analogamente z'=z.

Queste due leggi di trasformazione completano le trasformazioni di Lorentz.


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