I numeri immaginari
Mandel.jpg

Motivazione

Una delle prime cose che abbiamo osservato riguardo alla fattorizzazione dei polinomi è la relazione tra coefficienti e radici di un polinomio di secondo grado.
Ad es.,

(1)
\begin{align} (x-3)(x-7) \equiv x^2-10 x +21. \end{align}

Qui, $3$ e $7$ sono le radici, cioè i valori per cui l'espressione si annulla. Il coefficiente di primo grado è $-10=- (7 + 3)$, ossia la somma delle radici cambiata di segno; il termine noto è $21=7\times 3$ ovvero il prodotto delle radici.

In generale, in un polinomio di secondo grado (con coefficiente della $x^2$ uguale ad uno) con radici $x_1$ e $x_2$, il coefficiente della $x$ rappresenta la somma delle radici cambiata di segno (cioè $-x_1-x_2$) e il termine noto rappresenta il prodotto delle radici (cioè $x_1 x_2$).

Meno banale è il viceversa, perchè sappiamo che non tutti i polinomi di secondo grado hanno radici reali.
Ad es., $x^2+1$ non può essere scritto nella forma $(x-x_1)(x-x_2)$ con $x_1$ e $x_2$ reali, perché non c'è nessun numero reale che abbia il quadrato negativo.

L'inizio della storia

Un secolo dopo la caduta di Costantinopoli, secondo alcuni grazie ai testi Greci arrivati in occidente, la matematica europea iniziò una fase di risveglio.
Il primo grande risultato della matematica rinascimentale fu la formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado (Cardano, Tartaglia, del Ferro, Ferrari 1545).
Questa fase fu accompagnata da importanti innovazioni notazionali, che permisero di uscire dal solco della matematica greca e araba: si cominciò a fare una matematica in formule e non più a parole.

E' in questo periodo che venne introdotto il concetto di numero negativo.

Per trattare in maniera generale il problema della fattorizzazione di un polinomio, Bombelli nel 1572 propose di denotare con simboli speciali la radici quadrate di -1. Oggi usiamo il simbolo $i$, proposto molto più tardi da Eulero.
I numeri complessi ,cioè numeri della forma $a + i b$ con $a$ e $b$ numeri reali (detti rispettivamente "parte reale" e "parte immaginaria"), furono quindi concepiti come passaggi intermedi per arrivare alle soluzioni reali delle equazioni: non era il loro significato in se ad essere interessante, ma la possibilità di scrivere espressioni del tipo

(2)
\begin{align} x^2+1 \equiv (x+i)(x-i), \end{align}

e di dividere un polinomio di grado alto per un monomio "complesso".

Una volta introdotta la notazione, i matematici cominciarono ad interrogarsi sulle proprietà di queste soluzioni, trovando una struttura ricchissima che noi riusciremo solo ad intravedere.

Si può fare un parallelo con i numeri negativi (introdotti anch'essi nel '500 e accettati definitivamente molto più tardi), che sono una notazione abbastanza naturale se si vogliono rappresentare debiti e crediti con un'unica variabile. Ma se la somma algebrica è un'operazione naturale, molto meno naturale è fare il prodotto tra i numeri negativi! La regola che "meno per meno dà più", viene introdotta per una ragione puramente algebrica: salvare la proprietà distributiva di espressioni del tipo

(3)
\begin{equation} (4-3)(9-7). \end{equation}

In un primo momento, fu solo una scelta notazionale. Poi via via i numeri negativi assunsero importanza, perché fu chiaro che l'insieme numerico dei numeri reali, chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e prodotto, era molto più naturale per essere trattato algebricamente.

Nel 1629, il fiammingo Girard diede alle radici negative e immaginarie la dignità di soluzioni, enunciando il Teorema fondamentale dell'algebra, dimostrato poi da Gauss nel 1799: ogni equazione algebrica di grado $n$ ha $n$ soluzioni complesse, contate con la loro molteplicità.

Le soluzioni complesse delle equazioni di secondo grado.

Una volta denotata con $i:=\sqrt{-1}$ l'unità immaginaria, possiamo scrivere il risultato della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado qualsiasi sia il segno del discriminante:

(4)
\begin{align} x^2 + b x + c \equiv \left( x- \frac{-b + \sqrt{b^2-4c}}{2}\right) \left( x- \frac{-b - \sqrt{b^2-4c}}{2}\right). \end{align}

Se il discriminante è negativo, le radici sono numeri della forma $p +i q$, con $p$ e $q$ numeri reali. Ad es.,

(5)
\begin{align} x^2 + 2 x + 2 \equiv \left( x + 1 -i) \left( x+1 +i \right). \end{align}

Se $z\equiv x+iy$, $x =: \text{Re}(z)$ è detto "parte reale" e $y=: \text{Im}(z)$ è detto "parte immaginaria" del numero complesso $z$. Ogni numero complesso è dunque caratterizzato da due numeri reali.

Nella figura seguente, le radici dell'equazione $x^2+bx+c=0$ sono rappresentate nel piano complesso (piano di Gauss-Argand): la parte reale del numero complesso è rappresentata dalla sua ascissa, la parte immaginaria dalla sua ordinata.

Cambiando i valori dei coefficienti $b$ e $c$, possiamo osservare come si muovono le radici $x_1$ e $x_2$ dell'equazione.

Attiva la traccia dei punti $x_1$ e $x_2$. Qual'è il luogo di questi punti al variare di $b$?

Riconosci il significato algebrico della somma $x_1 + x_2$ e del prodotto $x_1 \cdot x_2$?

La simmetria tra $x_1$ e $x_2$ è evidente. Sono numeri del tipo $u+iv$ e $u-iv$, che differiscono cioè per il segno della parte immaginaria, detti "complessi coniugati. Il loro prodotto è

(6)
\begin{align} (u+iv) ( u-iv) \equiv u^2+v^2. \end{align}

Questo numero rappresenta il quadrato del "modulo" del numero complesso (tanto di $u+iv$ che di $u-iv$), definito come la lunghezza del segmento che collega il punto con l'origine, e si indica con il simbolo $|u+iv|$.

Ti sei accorto che il modulo quadro di $x_1$ è uguale a $x_1 \cdot x_2$ che a sua volta è uguale a $c$?
Ecco perchè $x_1$ e $x_2$ si muovono su una circonferenza: hanno sempre distanza $\sqrt c$ dall'origine!

Nota storica

Il primo a rappresentare i numeri complessi come punti di un piano fu Wallice nel 1670, senza tuttavia interpretare geometricamente somma e prodotto. La geometria analitica era nata pochi anni prima, nel 1637, con il “discours de la méthode” di Cartesio.

Proprio Cartesio, che ebbe una influenza profondissima nell'indirizzare la scienza del periodo, causò un momentaneo calo di interesse sui numeri negativi e a maggior ragione su quelli immaginari.

La corrispondenza tra punti del piano e numeri complessi fu chiarita definitivamente da Gauss (1831), sebbene due presentazioni geometriche complete fossero già state pubblicate dal danese Wessell (1797) e dallo svizzero Argand (1806) (senza peraltro ricevere grande attenzione).

Somma e prodotto

Vale la pena fare un piccolo parallelo tra numeri complessi e vettori nel piano. Tutte e due queste quantità sono associate ad una coppia di numeri reali. Per i vettori, sono definite due operazioni di base: la somma, definita con la regola del parallelogramma, e due tipi di prodotto: il prodotto scalare, definito come prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell'angolo compreso, e il prodotto vettoriale, definito come il prodotto dei moduli per il seno dell'angolo compreso.

Per i numeri complessi, somma e prodotto sono definiti in modo che nella formula

(7)
\begin{align} x^2+bx+c \equiv (x-x_1)(x-x_2), \end{align}

$b \equiv -x_1-x_2$ e $c \equiv x_1 x_2$.

Somma e prodotto tra numeri complessi, sono dunque operazioni connaturate nel problema, ed esiste un solo modo naturale per definirli:

La somma tra $z:=x+iy$ e $w:=u+iv$ è definita come

(8)
\begin{equation} z+w:=(x+y)+ i (u+v), \end{equation}

e il loro prodotto come

(9)
\begin{align} zw:=(x+iy)(u+iv)\equiv xu+i(xv+yu)+i^2yv \equiv (xu-yv) + i (xv+yu). \end{align}

Nell'ultima equazione, nota che abbiamo usato $i^2\equiv -1$.

Nota che non c'è analogia tra il prodotto tra vettori e quello tra numeri complessi:i prodotti tra vettori del piano sono numeri reali; il prodotto tra numeri complessi è ancora un numero complesso. Corrisponde quindi ad una coppia di numeri e non ad un numero solo. Invece vedremo tra poco che la somma è proprio quella cui siamo abituati per i vettori.

Alla scoperta del significato geometrico

Senza addentrarci in noiosi calcoli, useremo ancora Geogebra.
Prima però consiglio caldamente due esercizi, da eseguire algebricamente:
Esercizio 1: moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2}i$ per se stesso.
Esercizio 2: somma $\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2}i$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{1}{2}i$.

La somma

E' facile interpretare geometricamente la somma tra due numeri complessi. In effetti è una somma che abbiamo già incontrato per i vettori…

Ricordi la "regola del parallelogramma"? Seleziona la casella di controllo "Somma" nel foglio di lavoro.
Prova, muovendo i punti A e B, a fare la somma dell'esercizio 2.

Il prodotto

Per visualizzare il prodotto tra i numeri complessi rappresentati dai punti $A$ e $B$ nel piano, conviene iniziare a scegliere $A$ e $B$ di "modulo" 1, ossia sulla circonferenza goniometrica. Spunta la casella di controllo "Prodotto" nel foglio di lavoro. Il punto $C$ rappresenta il prodotto tra $A$ e $B$.

Poniamo l'attenzione sull'angolo che il segmento $OA$ forma con l'asse reale (che è quello delle ascisse), e sugli angoli analoghi individuati da $B$ e da $C$. Prova, muovendo i punti $A$ e $B$ sulla circonferenza goniometrica, ad individuare la relazione che lega gli angoli $\alpha, \beta$ e $\gamma$ in figura.

Come si vede, $\gamma \equiv \alpha+ \beta$. Il prodotto di due numeri complessi di modulo uno, si interpreta allora come somma degli angoli che individuano i vettori.

E' facile trasformare questa "legge empirica" in un teorema.
Basta un po' di trigonometria per dimostrarla:

(10)
\begin{align} A\cdot B \equiv (\cos\alpha + i \sin\alpha) (\cos\beta + i \sin\beta) \equiv \end{align}
(11)
\begin{align} (\cos\alpha \cos\beta- \sin\alpha \sin\beta) + i (\cos\alpha \sin\beta + \sin\alpha \cos\beta) \equiv \end{align}
(12)
\begin{align} \cos(\alpha+\beta)+i \sin(\alpha+\beta). \end{align}

E' facile vedere che moltiplicando numeri complessi di modulo diverso da uno, la legge per gli angoli rimane la stessa, mentre il modulo di $C$ è il prodotto dei moduli di $A$ e di $B$: il modo più semplice è scrivere i numeri complessi nella loro "rappresentazione polare", ossia nella forma

(13)
\begin{align} u+i v \equiv r(\cos \theta + i \sin \theta), \end{align}

dove $r:=\sqrt{u^2+v^2}=|u+iv|$ rappresent la distanza del punto dall'origine e $\theta:=\text{arc} \tan \frac{v}{u}$ rappresenta l'angolo che individua il punto, contato in senso antiorario a partire dall'asse reale. (fai un disegno)

Osserva che se $A$ e $B$ sono coniugati, il prodotto $AB$ è reale, e che elevare al quadrato un numero complesso di modulo uno vuol dire farlo ruotare raddoppiandone l'angolo.

L'inverso

Come per i numeri reali, l'inverso di un numero complesso $z$ è quel numero che moltiplicato per $z$ fà uno.

Esercizio 1: Sai dimostrare geometricamente che se $u+iv$ ha modulo uno, allora $u-iv$ è il suo inverso?

Esercizio 2: Sai dimostrare la stessa cosa algebricamente?

Esercizio 3: E' vero che se la moltiplicazione per un numero $z$ di modulo unitario corrisponde ad una rotazione di un angolo $\theta$ in senso antiorarario allora la divisione per $z$ corrisponde alla rotazione in senso orario dello stesso angolo $\theta$?

Esercizio 4: Dimostra che l'inverso di $r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ è $\frac{1}{r}(\cos \alpha - i \sin \alpha )$

Esercizio 5: Dimostra che l'inverso di $u+iv$ è $\frac{u-iv}{u^2+v^2}$

Potenze e radici

Analogamente, elevare alla potenza $n$ il numero complesso $A$, vuol dire far ruotare di $n \alpha$ volte il segmento di lunghezza $|A|^n$.
Dal momento che la radice è l'operazione inversa della potenza, un radice quadrata di un numero complesso $\cos \theta + i \sin \theta$ è individuata dall'angolo $\theta / 2$. Per trovare l'altra radice, basta osservare che $\theta$ e $\theta +2 \pi$ individuano lo stesso punto. Dividendo $\theta +2 \pi$ per due individuiamo quindi l'altra radice quadrata che cercavamo.

Esercizio 1: Le radici di $i$ sono numeri complessi? Se sì, individuale.

In generale, una radice $n$-esima di un numero complesso $r(\cos\alpha + i \sin \alpha)$ si trova dividendo per $n$ l'angolo $\alpha$, le altre si trovano distanziate da questa di $k 2 \pi/n$, con $k=1,\dots,n-1$. Il modulo di tutte queste radici sarà la radice $n$-esima di $r$.

Esercizio 2: (l'errore di Leibnitz). Nel 1702 Leibnitz, uno dei più grandi matematici della sua epoca, sostenne di aver trovato un controesempio al teorema fondamentale dell'algebra (dimostrato 100 anni dopo da Gauss): secondo lui, non era possibile trovare le radici di $x^4+1=0$. Tu sai trovarle tutte e quattro?

Esercizio 3: Moltiplicando $(x-a + ib)$ per $(x-a - ib)$ si ottiene un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Utilizza questo risultato per fattorizzare il polinomio $x^4+1$ nel prodotto di due polinomi a coefficienti reali.

Esercizio 4: L'interpretazione dell'elevazione a potenza come una rotazione, non è un pettegolezzo, ma uno strumento di calcolo. Prova ad usarla per calcolare $\left( \frac{\sqrt 2}{2}- \frac{\sqrt 2}{2}i \right)^{65}$. Suggerimento: calcola prima $\left( \frac{\sqrt 2}{2}- \frac{\sqrt 2}{2}i \right)^8$, poi $\left( \frac{\sqrt 2}{2}- \frac{\sqrt 2}{2}i \right)^{16}$

Esattamente come si fa per i numeri reali, possiamo allora definire le potenze razionali di un numero complesso per poi estendere la nozione a potenze reali di numeri complessi.

La formula di Eulero

I matematici capirono, nella prima metà del 1700, che potevano estendere le funzioni reali (applicazioni che in cambio di un numero reale in ingresso forniscono un numero reale in uscita) al campo complesso. Nacque così la teoria delle funzioni di variabile complessa, applicazioni cioè che in cambio di un numero complesso restituiscono un numero complesso. Per entrare in questo campo, serve qualche nozione di calcolo, o sulle serie di potenze, quindi dobbiamo soprassedere. Una di queste funzioni dobbiamo però menzionarla, per il ruolo tutto speciale che gioca: l'esponenziale complesso, in particolare, un numero reale elevato ad una potenza puramente immaginaria, tipo $2^i$.

Abbiamo già visto che l'elevazione a potenza intera di un numero di modulo 1 corrisponde ad una rotazione.
in formule,

(14)
\begin{align} (\cos \alpha+ i \sin \alpha)^n \equiv \cos (n \alpha) + i \sin (n \alpha) \end{align}

nota come "formula di de Moivre". In realtà è stata dimostrata da Eulero nel 1736, ma de Moivre nel 1730 era arrivato ad un'espressione simile.

Con qualche cautela per evitari i problemi dovuti alla molteplicità delle radici, si può generalizzare questa formula agli esponenti reali, ottenendo

(15)
\begin{align} \cos\alpha + i \sin \alpha \equiv (\cos 1 + i \sin 1)^\alpha, \end{align}

che si interpreta dicendo che $\cos 1 + i \sin 1$ individua l'angolo unitario.

Ma questa scrittura è interessante anche per un altro motivo: permette di rappresentare seno e coseno in termini di un esponenziale. Eulero ha mostrato che il numero $\cos 1 + i \sin 1$, che gioca il ruolo di "unità di misura", può essere riscritto in maniera sorprendente.

L'esponenziale complesso

Vogliamo mostrare, con metodi elementari, che quando si eleva un numero reale $a$ ad una potenza puramente immaginaria si ottiene un numero complesso di modulo 1, qualcosa cioè del tipo $\cos\alpha + i \sin\alpha$. Cambiare questo numero $a$, vuol dire cambiare unità di misura per gli angoli.


la nostra "unità di misura per gli angoli nel piano complesso" $\cos 1 + i \sin 1$ altri non è che il numero di Nepero $e$.(27)
\begin{align} e^{i\alpha} \equiv \cos\alpha + i \sin\alpha, \end{align}

relazione scoperta da Eulero nel 1748 e nota come "formula di Eulero".
Il numero che corrisponde all'unità di misura in radianti è $e$, il numero di Nepero: la base del logaritmo naturale.

Questa formula importantissima contiene in se gran parte delle formule trigonometriche.

Trigonometria con la formula di Eulero.

Lo scopo di questo paragrafo facoltativo è quello di mostrare la potenza della formula di Eulero ricavandone le formule trigonometriche.
La formula di Eulero e una minima abitudine ai calcoli algebrici vi permettono infatti di ricostruire "facilmente" tutte le identità trigonometriche che conoscete.

Innanzitutto, la formula inversa della formula di Eulero è una coppia di identità:

(28)
\begin{align} \sin \alpha \equiv \text{Im}(e^{i \alpha}) \equiv i \frac{e^{-i\alpha}-e^{i\alpha}}{2} \end{align}
(29)
\begin{align} \cos \alpha \equiv \text{Re}(e^{i \alpha}) \equiv \frac{e^{-i\alpha} + e^{i\alpha}}{2} \end{align}

Addizione

Per seno e coseno, nessuna sorpresa, ne abbiamo già parlato diffusamente:

(30)
\begin{align} \cos (\alpha +\beta)\equiv \text{Re}(e^{i(\alpha+\beta)})\equiv\text{Re}(e^{i\alpha}e^{i\beta})\equiv \text{Re}((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos \beta+i\sin\beta))\equiv \end{align}
(31)
\begin{align} \ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \end{align}
(32)
\begin{align} \sin (\alpha +\beta)\equiv \text{Im}(e^{i(\alpha+\beta)})\equiv\text{Im}(e^{i\alpha}e^{i\beta})\equiv\text{Im}((\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos \beta+i\sin\beta))\equiv \end{align}
(33)
\begin{align} \ \cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta. \end{align}

Per la tangente è un po' più difficile:

Duplicazione

Usando la formula per la differenza tra due quadrati,

(38)
\begin{align} \sin 2\alpha \equiv i \frac{e^{-i 2 \alpha}-e^{i 2 \alpha}}{2}\equiv \end{align}
(39)
\begin{align} \frac{i}{2}\left(e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}\right)\left(e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}\right)\equiv 2\sin\alpha\cos\alpha. \end{align}

Completando il quadrato del binomio,

(40)
\begin{align} \cos 2\alpha \equiv \frac{e^{-i 2 \alpha}+e^{i 2 \alpha}-2+2}{2}\equiv \end{align}
(41)
\begin{align} \frac{1}{2}\left(2+\left(e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}\right)^2\right)\equiv 1-2\sin^2\alpha \end{align}

oppure

(42)
\begin{align} \equiv\frac{1}{2}\left(\left(e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}\right)^2-2\right)\equiv 2\cos^2\alpha - 1. \end{align}

Infine, combinando le due strategie,

(43)
\begin{align} \tan 2\alpha\equiv 2 i \frac{\left(e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}\right)\left(e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}\right)} {\left(e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}\right)^2+\left(e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}\right)^2}\equiv \end{align}

dividiamo sopra e sotto per $\left(e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}\right)^2$,

(44)
\begin{align} \equiv 2i \frac{\frac{e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}}{e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}}} {1+\left(\frac{e^{-i \alpha}-e^{i \alpha}}{e^{-i \alpha}+e^{i \alpha}}\right)^2} \equiv \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align}

Werner e prostaferesi

[…]

Il resto della storia

Valeva la pena fare tutta questa fatica? I numeri complessi sono davvero un argomento così interessante da dover essere trattato alle superiori? Dopo esserci imbarcati in questo viaggio, noi cosa ne abbiamo tratto?

Lasciatemi ricapitolare, e dare un'idea del peso che i numeri complessi hanno in matematica e in fisica ripercorrendo sommariamente la loro storia.

Algebra

Noi ci siamo mossi essenzialmente in questo campo, ed in fondo è da qui che la storia ha avuto inizio.

Trigonometria

Teoria dei numeri

Analisi complessa

Funzioni analitiche

Integrali definiti

Trasformazioni di Fourier

Trasformazioni di Laplace

Funzioni armoniche

Trasformazioni conformi

Frattali

Elettronica

Meccanica dei fluidi

Meccanica quantistica

Teoria dei campi (in Fisica)

Relatività

Copertina

Mandel2b.jpg

Cosa rappresenta la figura in copertina e cosa c'entra con i numeri complessi?

E' il celeberrimo insieme di Mandelbrot, definito sui numeri complessi.

Per decidere il colore di un punto $z$ del piano complesso, itero la seguente procedura:

  • definisco $w_0 := z$
  • definisco $w_1 := w_0^2+z$
  • poi continuo definendo $w_n := w_{n-1}^2+z$

il colore indica qual'è il primo valore di $n$ per il quale il modulo di $w_n$ supera il valore 2.

Se non basta questo a convincervi della bellezza dei numeri complessi…

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