Insegnare la Fisica nel linguaggio della geometria dinamica

Abstract: I software di geometria dinamica hanno alcune caratteristiche che li rendono molto adatti ad essere utilizzati nell’insegnamento della Fisica, prime tra tutte la capacità di evidenziare le leggi di conservazione e le relazioni causa-effetto. Queste caratteristiche, unite alle capacità di calcolo, alla facilità nell’invertire il ruolo di variabili e incognite e alla flessibilità nell’uso dei parametri ne fanno autentici strumenti di modellizzazione della realtà fisica.
Il loro utilizzo didattico appare particolarmente indicato nella scuola superiore, quando il linguaggio algebrico-analitico non è ancora sufficientemente sviluppato per fungere da veicolo della comunicazione: Il linguaggio della geometria analitica può essere sfruttato come un ponte tra il linguaggio fisico e quello algebrico-analitico.
Illustriamo questo programma in un esempio di unità didattica di Fisica, in cui sostituiamo il tradizionale linguaggio algebrico-analitico con il linguaggio "geometrico-dinamico", senza per questo rinunciare al rigore.

Introduzione

La scelta del linguaggio matematico è un nodo cruciale nell'insegnamento della fisica nella scuola secondaria. Per una sfortunata quanto inevitabile discordanza di tempi, spesso l'insegnante di Fisica si trova ad introdurre ed utilizzare formalismi non ancora sviluppati in Matematica. Lo studente, che il in Matematica deve essere a malapena capace di rappresentare una conica, in Fisica deve essere in grado di scambiare il ruolo incognite, variabili e parametri, di comprendere le approssimazioni lineari o di proiettare vettori.
Concetti delicatissimi, quali quello di derivata, di integrale, di approssimazione polinomiale, di equazione differenziale, di derivata parziale ecc., vengono di fatto introdotti in Fisica molto prima che in matematica. A volte con discutibili scelte al ribasso.
Il rischio di questo stacco logico è evidente. Su questa strada, si perde la possibilità di sfruttare la fisica come motivazione per lo studio della matematica e di approfittare dei problemi fisici per fornire un contesto ai problemi di matematica.

Nell'insegnamento della Fisica alle superiori, il linguaggio analitico non dovrebbe essere utilizzato come veicolo della comunicazione, non facendo ancora parte del bagaglio degli studenti. Dovrebbe invece essere introdotto contestualmente, approfittando dalla motivazione fisica. Lo stesso si può dire del linguaggio algebrico, dal momento che le capacità richieste per manipolare le espressioni delle leggi fisiche riguardano l'inversione funzionale piuttosto che la fattorizzazione delle espressioni.

Nonostante queste palesi difficoltà, l'insegnamento della Fisica alle superiori si basa fortemente sulla rappresentazione algebrica e su versioni "addomesticate" di concetti di analisi. Spesso sono scelte al ribasso, che nascondono completamente i termini del problema della descrizione dei sistemi dinamici, tanto dal punto di vista quantitativo che da quello qualitativo. La Fisica si riduce ad una serie di formule pret-a-porter, tradendo la propria natura di scienza sperimentale.

Fortunatamente, esistono alternative al linguaggio analitico delle funzioni reali, forse non altrettanto potenti ai fini del calcolo, ma altrettanto rigorosi. Non è necessario limitarsi a presentare la fisica in maniera induttiva o descrittiva. Molti argomenti possono essere formalizzati tranquillamente in altri linguaggi. Questi linguaggi possono fare da ponte tra il linguaggio fisico e quello analitico.

E' necessario uno sforzo comunicativo nuovo per colmare la distanza con gli studenti. Questo sforzo consiste nell'individuazione di un linguaggio matematico adeguato e nella traduzione sistematica del percorso logico tra i differenti piani del discorso e tra i diversi linguaggi.
A patto di trovare il linguaggio idoneo per comunicare con studenti delle superiori, anche argomenti molto complessi possono trovare una sistemazione rigorosa.

Da oltre un decennio, l'insegnamento della geometria nella scuola sta subendo una piccola rivoluzione con l'entrata prepotente dei software di geometria dinamica (DNS nel seguito) nella pratica didattica. Tra i tanti aspetti che rendono interessante questo strumento, c'è la visualizzazione immediata di leggi di conservazione e di relazioni causa-effetto, aspetti fondamentali nello studio della Fisica. Ma questi software fanno anche di più: permettono agli studenti di sperimentare, rivestendo di un significato nuovo la rappresentazione algebrica di leggi fisiche. In poche parole, gettano un ponte tra la rappresentazione geometrica e quella algebrica, aprendo la strada al collegamento tra geometria, cinematica e analisi.

Nonostante il fatto che i DNS siano chiaramente orientati verso la didattica della matematica, rappresentano una risorsa enorme, e in buona parte inesplorata, per la didattica della Fisica. Per questi motivi, vale la pena fare uno sforzo sistematico di traduzione dei problemi fisici dal linguaggio matematico naturale, tipicamente quello analitico, al linguaggio della geometria dinamica, già accessibile agli studenti.

Proponiamo qui un esempio estremo, forse persino accademico nella scelta del soggetto, ma che bene illustra le potenzialità dei DNS nell'insegnamento della fisica: la relatività speciale. E' un percorso totalmente rigoroso (ben al di là dello standard dei libri di testo delle superiori) che, partendo dalla cinematica galileiana e dalla crisi dell'impianto newtoniano, guida lo studente alla costruzione della cinematica relativistica e, attraverso l'analisi degli urti anelastici, alla formulazione delle nuove leggi di conservazione.
In questa proposta, il linguaggio algebrico è sostituito da quello geometrico, e la comprensione delle relazioni funzionali è affidata ad un programma di geometria dinamica (GeoGebra).

Limiti del percorso tradizionale

Salvo pochi, marginali casi, la teoria della relatività trova poco spazio nei programmi di Fisica delle scuole superiori, normalmente alla fine del del quinto anno, nel corso di una panoramica sulla fisica moderna.
Più che da ragioni di propedeuticità, questa collocazione è dettata dalla lontananza dell'argomento dall'esperienza quotidiana e dalla difficoltà oggettiva a comunicare contenuti tanto alieni.

Dal punto di vista matematico, l'ostruzione principale è la difficoltà di descrivere le trasformazioni di Lorentz sulla base della sola rappresentazione algebrica. Si tratta di un limite sostanziale, perché di norma gli studenti sono incapaci di rappresentare mentalmente le trasformazioni di Lorentz sulla sola base della descrizione funzionale e, d'altra parte, non possono appoggiarsi all'intuito fisico.

La scelta più comune è quella di limitarsi ad esporre le motivazioni sperimentali che hanno causato la crisi della meccanica classica ed illustrare gli aspetti più spettacolari della teoria di Einstein.
Facile, su questa linea, passare l'idea di una Fisica più vicina alla fantascienza o alla magia che non ad una scienza sperimentale.
E' possibile insegnare la relatività senza limitarsi all'aneddotica, o peggio ai paradossi?

Tra i pochi testi per la scuola superiore che fanno questo tentativo, è interessante citare [BS], dove cinematica e dinamica relativistica sono derivate con rigore inusuale, seguendo il percorso assiomatico. Per aggirare i problemi di comunicazione dei contenuti matematici, gli autori scelgono di discostarsi dal percorso classico introducendo argomenti semplificati, che non sempre restituiscono un'immagine realistica del ragionamento scientifico, quali in particolare gli argomenti dimensionali.

In linea generale, crediamo che sia più efficace, come sforzo didattico, concentrarsi sul linguaggio piuttosto che sulla semplificazione eccessiva del processo deduttivo. Per questo motivo, la nostra trattazione è "più matematica e meno fisica" di quella in [BS]. Detto questo, anche noi come loro ricorriamo alla analisi degli urti piuttosto che addentrarci nel calcolo differenziale quando deriviamo la dinamica.

La scelta del focus

La nostra linea espositiva appoggerà fortemente sul legame tra relatività e linearità. Per questo motivo, lo studio dei moti rettilinei uniformi nel diagramma spazio-tempo assumerà un ruolo fondamentale, specialmente per quanto riguarda la cinematica relativistica.
Nella derivazione della dinamica, il ruolo da protagonsta spetterà invece allo studio degli urti.

Nello scegliere una struttura focale, intorno alla quale far ruotare tutta la nostra unità didattica, l'urto appare come la scelta più idonea: l'urto rompe la monotonia del moto uniforme. E' qualcosa di tangibile, che crea aspettativa negli studenti e chiarisce il significato del diagramma spazio-tempo. Sarà quindi verso lo studio degli urti che orienteremo tutti i nostri sforzi, a partire dai richiami di relatività galileiana fino alla derivazione della dinamica relativistica.

Nella versione online dell'unità didattica che stiamo descrivendo, partiamo da un semplice filmato trovato in rete: un operatore a bordo di una automobile riprende un cane che le corre accanto. Ad un certo punto, un secondo cane salta fuori dal finestrino della macchina e va ad urtare il primo cane.

Partiamo dalla descrizione galileiana di questo urto (più precisamente, della sua versione unidimensionale).

La relatività galileiana.

Arrivati all'ultimo anno, gli studenti dovrebbero aver assimilato la descrizione del moto nel linguaggio della geometria dello spazio tempo ma, di fatto, è quasi sempre necessario un attento richiamo.

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